Евклидово пространство такое евклидово

[dluciv]

Сравнивать (вычитать или подавать на вход метрическим функциям) объёмы шаров в пространствах с различным количеством измерений, вообще говоря, некорректно, так как это величины разной природы. Но математика, когда мы не ищем физического смысла, это простит.

Ну, господа, не глядя в справочники: если радиус фиксирован, то к чему стремится объём шара, когда размерность пространства стремится к ∞? Кстати, он ещё и довольно забавно это делает.

Не надо только явно на вопрос отвечать, поделитесь лучше своими впечатлениями. Признаюсь, я очень основательно посомневался, прежде чем прийти к верному выводу.

Comments

[ted-dy.livejournal.com]

я знаю, ибо занимаюсь очень близкими вещами)

Вот интересный вопрос:
в R^n есть два тела с центром симметрии в нуле. Для любой плоскости, проходящей через ноль, площадь сечения первого меньше площади сечения второго. Верно ли тогда, что объём первого меньше объёма второго?

Ответ при n>4 отрицательный. Примером начиная с размерности, кажется, 7 служат куб и шар подходящего размера. Как раз по причине тобой описанной))

Вроде я нигде явно не ответил на вопрос))

[dluciv.livejournal.com]

Имеется в виду, конечно, гиперплоскость с собственной размерностью на 1 меньшей, чем у всего пространства, да?

Ох ёлки, забавно.

А ведь некоторые вещи, типа теоремы Пифагора, для произвольного количества измерений ведут себя абсолютно так, как ожидается. И, глядя на них, начинаешь думать, что количество измерений не принесёт сюрпризов.

Ещё из интуитивно неочевидных вещей кстати вспомнилось, что волны в чётномерных пространствах не рассеиваются...

[ted-dy.livejournal.com]

На самом деле всё не так плохо, как я описал. Есть гипотеза, что в указанном мною случае отношение объёмов не больше константы в степени n. Однако эта гипотеза до сих пор не доказана и имеет огромное количество переформулировок совершенно разного характера... Называется задача Буземана-Петти.

[scavenger-spb.livejournal.com]

Забавно. Даже вспомнил навыки интегрирования. Вот только не помню, как туда попадает пи... что-то с памятью моей стало.

[dluciv.livejournal.com]

Пи берётся вот отсюда, когда n нечётное:



Очередная степень Пи появляется, понятно, в каждом втором новом измерении.

[scavenger-spb.livejournal.com]

Хм. А я все забыл. И считал не то и не так :)

[dluciv.livejournal.com]

А я тоже. Но когда вспомнил, то первый шок был от того, что Пи вылезает много раз. Но не в этом самая суть, как оказалось.

[scavenger-spb.livejournal.com]

Угу. :) У мну появилось и "геометрическое" представление ситуации:

n-мерный объем единичного n-мерного куба - единица. А n-мерный шар с увеличением размерности занимает все меньшую и меньшую часть куба. Причем добавление все новой и новой размерности ускоряет этот процесс :)

[dluciv.livejournal.com]

Ускоряет, правда единичный шар в единичный куб (в классическом понимании) не вписывается =).

[scavenger-spb.livejournal.com]

Ну... размер шара я не упоминал... а имел в виду именно вписанный в него :) Размер куба, в который вписан шар, по-началу, конечно, компенсирует увеличение свободного места. Но потом перестает :) Правда без вычислений уже сложно понять отношение роста и уменьшения объема от этих влияний. :)

[dluciv.livejournal.com]

Ну если формулу приблизительно получил (даже не до конца), то уже предположить можно.

[ted-dy.livejournal.com]

На самом деле просто у единичного куба очень большая диагональ -- корень из n. Поэтому он довольно сильно вылезает из единичного шара....

[dluciv.livejournal.com]

Угу

[scavenger-spb.livejournal.com]

Это зависит от того, как смотреть на вещи :) С точки зрения шара - куб растет, а с точки зрения куба - шар уменьшается :)

[http://users.livejournal.com/_kain_/]

От нуля надо интегрировать.

[dluciv.livejournal.com]

Из общих соображений полезно, но в данном случае не вижу большой разницы.